콤팩트 생성 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. k-연속 함수와 k-닫힌집합
- 2.2. 콤팩트 생성 공간의 정의
3. 성질
4. 역사
5. 예시
6. k-화
참조

1. 개요

콤팩트 생성 공간은 위상수학에서 사용되는 특수한 종류의 위상 공간이다. k-연속 함수와 k-닫힌집합의 개념을 통해 정의되며, 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합의 몫공간과 동치이다. 콤팩트 생성 공간은 모든 k-연속 함수가 연속 함수가 되도록 하는 공간이며, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간, 제1 가산 공간, CW 복합체 등이 이에 속한다. 콤팩트 생성 공간은 위상 공간의 범주에서 데카르트 닫힌 범주를 형성하며, 콤팩트 생성화라는 과정을 통해 일반적인 위상 공간을 콤팩트 생성 공간으로 만들 수 있다.

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콤팩트 생성 공간

2. 정의

위상 공간 $X$ 가 다음 조건들을 만족시키면 콤팩트 생성 공간이라고 정의한다.^[7]

$X$ 를 정의역으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다.
$X$ 의 모든 k-닫힌집합은 닫힌집합이다.
$X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합의 몫공간이다.
콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합과 함수들의 집합이 다음 조건을 만족시킨다: 임의의 부분 집합 $A\subseteq X$ 에 대하여, $A$ 가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 $i\in I$ 에 대하여 $f_i^{-1}(A)\subseteq K_i$ 가 닫힌집합인 것이다.
$X$ 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫공간이다.

이 조건들은 서로 동치이다.

2. 1. k-연속 함수와 k-닫힌집합

위상 공간

X

,

Y

사이의 함수

f\colon X\to Y

가 다음 조건을 만족시키면, '''k-연속 함수'''라고 한다.

임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 연속 함수 $t\colon K\to X$ 에 대하여, $f\circ t\colon K\to Y$ 는 연속 함수이다.

위상 공간

X

의 부분 집합

A

가 다음 조건을 만족시키면 '''k-닫힌집합'''이라고 한다.

임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 연속 함수 $t\colon K\to X$ 에 대하여, $t^{-1}(A)$ 는 닫힌집합이다.

모든 연속 함수는 k-연속 함수이지만, 연속 함수가 아닌 k-연속 함수가 존재한다. 비슷하게, 모든 닫힌집합은 k-닫힌집합이지만, 닫힌집합이 아닌 k-닫힌집합이 존재한다.

X

의 k-화에서의 닫힌 집합은 '''k-닫힌 집합'''이며, 이에 상응하는 특성을 갖는다. 공간

X

에서 모든 닫힌 집합은 k-닫힌 집합이다.

2. 2. 콤팩트 생성 공간의 정의

위상 공간

X

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 '''콤팩트 생성 공간'''이라고 한다.^[7]

$X$ 를 정의역으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$ 및 k-연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $f$ 는 연속 함수이다.
$X$ 의 모든 k-닫힌집합은 닫힌집합이다.
$X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합의 몫공간이다. 즉, $X\cong\left(\bigsqcup_{i\in I}K_i\right)/{\sim}$ 인 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 $\{K_i\}_{i\in I}$ 및 $\bigsqcup_{i\in I}K_i$ 위의 동치 관계 $\sim$ 가 존재한다.
다음 조건을 성립시키는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 $\{K_i\}_{i\in I}$ 및 함수들의 집합 $\{f_i\colon K_i\to X\}_{i\in I}$ 이 존재한다.
임의의 부분 집합 $A\subseteq X$ 에 대하여, $A$ 가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 $i\in I$ 에 대하여 $f_i^{-1}(A)\subseteq K_i$ 가 닫힌집합인 것이다.
$X$ 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫공간이다.

3. 성질

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간, 제1 가산 공간, CW 복합체는 콤팩트 생성 공간이다.^[7]^[15]^[9] 콤팩트 생성 공간의 닫힌 부분 공간 및 몫공간은 콤팩트 생성 공간이다.

두 콤팩트 생성 공간의 곱공간은 항상 콤팩트 생성 공간이 아닐 수 있지만, 국소 콤팩트 공간과의 곱은 콤팩트 생성 공간이다.

3. 1. 범주론적 성질

콤팩트 생성 공간과 (k-)연속 함수의 범주

\operatorname{CGTop}

는 위상 공간과 연속 함수의 범주

\operatorname{Top}

의 반사 부분 범주를 이룬다.^[7]^[8] 콤팩트 생성화 함자

k\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{CGTop}

는 콤팩트 생성 공간이 아닌 공간을 콤팩트 생성 공간으로 만든다. 위상 공간

X

의 콤팩트 생성화

k(X)

는 집합으로서

X

와 같지만

X

보다 더 섬세한 위상을 갖는다. 구체적으로,

k(X)

의 닫힌집합은

X

의 k-닫힌집합이다.

\operatorname{CGTop}

는 완비 범주이자 쌍대완비 범주이다.

\operatorname{CGTop}

에서의 쌍대극한은

\operatorname{Top}

와 같으며,

\operatorname{CGTop}

에서의 극한은

\operatorname{Top}

에서의 극한의 콤팩트 생성화이다. 예를 들어,

\operatorname{CGTop}

에서의 곱은 다음과 같으며, 일반적으로 (위상 공간의) 곱공간과 다르다.

:

X\times_{\operatorname{CGTop}}Y=k(X\times_{\operatorname{Top}}Y)

\operatorname{CGTop}

는 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 두 콤팩트 생성 공간

X

,

Y

사이의 (k-)연속 함수들의 집합

\mathcal C(X,Y)

에 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 열린집합 $U\subseteq Y$ 및 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 연속 함수 $t\colon K\to X$ 에 대하여, $\{f\in K(X,Y)\colon f\circ t(K)\subseteq U\}$ .

만약

X

가 하우스도르프 공간이라면, 이는 콤팩트-열린집합 위상과 같다. 그렇다면,

\operatorname{CGTop}

에서의 지수 대상

Y^X

는

\mathcal C(X,Y)

의 콤팩트 생성화이다.

:

(Y^X)_{\operatorname{CGTop}}=k(\mathcal C(X,Y))

3. 2. 콤팩트 생성 하우스도르프 공간

하우스도르프 공간의 범주

\operatorname{CGHaus}

및 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주

\operatorname{CGWH}

는 완비 범주이자 쌍대완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이다.

3. 3. 부분 공간, 몫 공간, 곱 공간

콤팩트 생성 공간의 닫힌 부분 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간의 몫공간은 콤팩트 생성 공간이다.

두 콤팩트 생성 공간의 곱공간은 항상 콤팩트 생성 공간이 아닐 수 있지만, 국소 콤팩트 공간과의 곱은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간의 범주에서의 곱은 일반적인 곱 공간의 콤팩트 생성화이다.

4. 역사

이 개념은 원래 비톨트 후레비치가 도입하였다.^[10] 이후 로널드 브라운(Ronald Brown)이 1961년 박사 학위 논문에서 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 데카르트 닫힌 범주임을 증명하였다.^[7]^[11]^[12]^[13] 1967년에 노먼 스틴로드는 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 대수적 위상수학을 전개하기에 가장 편리한 범주라고 제안하였다.^[14]

콤팩트 생성 공간은 원래 독일어 "kompakt"에서 따온 '''k-공간'''이라고 불렸다.

일반적인 위상 공간의 범주는 데카르트 닫힌 범주가 되지 못하는 등의 결함이 있었다.^[3] 반면, 심플리셜 집합의 범주는 데카르트 닫힌 범주가 되는 등 편리한 속성이 있었다.

이러한 상황을 해결하기 위해 1962년에 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 전체 부분 범주로 제한하는 제안이 나왔고, 이는 데카르트 닫힌 범주였다. 1964년에는 일반적인 하우스도르프 공간을 고려하지만 콤팩트 부분 집합에서 연속인 함수를 사용하는 제안도 나왔다.

이러한 아이디어는 비하우스도르프 경우로 일반화되었다. 이는 하우스도르프 공간의 몫 공간이 하우스도르프가 아닐 수 있기 때문에 유용하다.^[4]

현대 대수적 위상수학에서는 약한 하우스도르프 속성과 결합하여 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주에서 작업한다.

5. 예시

다음은 콤팩트 생성 공간의 예시이다.

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 콤팩트 생성 공간이다.^[7]^[15]
모든 제1 가산 공간은 콤팩트 생성 공간이다.^[7]^[15]^[9]
모든 CW 복합체는 콤팩트 생성 공간이다.^[7]

정의 섹션에서 설명했듯이, 콤팩트 생성 공간에 대한 보편적으로 받아들여지는 정의는 없지만, 일반적으로 사용되는 정의 3가지를 '''CG-1''', '''CG-2''', '''CG-3''' 약어로 표현하면 다음과 같다.

약어	의미 요약
CG-1	콤팩트 부분 공간 패밀리와 일관된 위상
CG-2	임의의 콤팩트 하우스도르프 공간에서의 연속 함수와 관련하여 최종 위상과 동일한 위상
CG-3	콤팩트 하우스도르프 부분 공간 패밀리와 일관된 위상

하우스도르프 공간의 경우 CG-1, CG-2, CG-3은 모두 동일하다.
모든 CG-3 공간은 CG-2이고 모든 CG-2 공간은 CG-1이다.
약한 하우스도르프 공간의 경우 CG-2와 CG-3은 동일하다.
수열 공간은 CG-2이다. 여기에는 제1 가산 공간, 알렉산드로프-이산 공간, 유한 공간이 포함된다.
모든 CG-3 공간은 T₁ 공간이다.

콤팩트 생성 하우스도르프 공간에는 하우스도르프 수열 공간, 하우스도르프 제1 가산 공간, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 등이 포함된다. 특히 거리 공간과 위상 다양체는 콤팩트 생성이다. CW 복합체도 하우스도르프 콤팩트 생성이다.

콤팩트 생성 공간이 아닌 공간의 예는 다음과 같다.

CG-1이지만 CG-2가 아닌 공간: CG-1이 아닌 공간의 일점 콤팩트화
CG-2이지만 CG-3가 아닌 공간: 시에르핀스키 공간

6. k-화

임의의 위상 공간 $X$ 가 주어지면, 더 세분된 위상을 갖는 콤팩트 생성 공간 $kX$ 를 정의할 수 있는데, 이를 $X$ 의 '''k-화'''라고 부른다. $\{K_\alpha\}$ 를 $X$ 의 콤팩트 부분 집합의 모음이라고 하자. $X$ 에 새로운 위상을 정의하는데, 부분 집합 $A$ 가 각 지수 $\alpha$ 에 대해 $A \cap K_\alpha$ 가 $K_\alpha$ 에서 닫혀 있을 경우에만 닫혀 있다고 선언한다. 이 새로운 공간을 $kX$ 로 표기한다. $kX$ 와 $X$ 의 콤팩트 부분 집합은 일치하며, 콤팩트 부분 집합에 유도된 위상은 동일함을 보일 수 있다. 따라서 $kX$ 는 콤팩트 생성 공간이다.

$X$ 가 처음부터 콤팩트 생성 공간이었다면 $kX = X$ 이다. 그렇지 않은 경우 $kX$ 의 위상은 $X$ 보다 엄격하게 세분화된다(즉, 더 많은 열린 집합이 있다).

이 구성은 함자적이다. $\mathbf{CGTop}$ 를 콤팩트 생성 공간을 객체로 하는 $\mathbf{Top}$ 의 전체 부분 범주로, $\mathbf{CGHaus}$ 를 하우스도르프 공간을 객체로 하는 $\mathbf{CGTop}$ 의 전체 부분 범주로 표기한다. $X$ 를 $kX$ 로 보내는 $\mathbf{Top}$ 에서 $\mathbf{CGTop}$ 으로의 함자는 $\mathbf{CGTop} \to \mathbf{Top}$ 의 오른쪽 인접 함자이다.

$\mathbf{CGHaus}$ 의 지수 대상은 $k(Y^X)$ 로 주어지며, 여기서 $Y^X$ 는 $X$ 에서 $Y$ 로의 연속 함수의 공간이며 콤팩트-열린 위상을 갖는다.

이러한 아이디어는 비-하우스도르프 경우로 일반화될 수 있다. 하우스도르프 공간의 식별 공간이 하우스도르프가 아닐 필요가 있기 때문에 이것은 유용하다.

참조

_[1] 논문 Quotients of k-semigroups 1974
_[2] 간행물 compactly generated topological space
_[3] 서적 Algebraic Topology https://pi.math.corn[...]
_[4] 논문 Monoidal closed, Cartesian closed and convenient categories of topological spaces https://msp.org/pjm/[...] 1980
_[5] 논문 The total negation of a topological property 1979
_[6] 웹사이트 A note about the Arens' space http://dantopology.w[...] 2010-08-19
_[7] 서적 Topology and groupoids http://pages.bangor.[...] Booksurge 2006-03
_[8] 서적 A concise course in algebraic topology http://www.math.uchi[...] University of Chicago 1999-09
_[9] 문서 http://www.math.uchi[...]
_[10] 저널 Compact Sets of Functions and Function Rings 1950
_[11] 서적 Function spaces and FD-complexes 옥스퍼드 대학교 1961
_[12] 저널 Ten topologies for $X\times Y$ 1963
_[13] 저널 Function spaces and product topologies 1964
_[14] 저널 A convenient category of topological spaces 1967
_[15] 서적 General topology https://www.springer[...] Springer 1975

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